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集合論求救3. 反函數

2020年12月7日 11:09
求救一個觀念! 一個函數若存在反函數,則此函數必為one to one 。 那麼反過來說成立嗎? 一個one to one函數一定存在反函數嗎? 因為一個函數f的反函數g要存在,則它必須要同時滿足f的 right inverse 和 left inverse都要存在:
但講義上又寫,一個one to one函數等價於f有left inverse。 所以一個函數只要滿足left inverse就是one to one函數了。 但一個函數有left inverse不一定有right inverse,所以條件2不一定成立,我們不能稱此函數f有反函數。 是這樣嗎?
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injective -> bijective on its range
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B1 什麼意思?!
國立政治大學
f:E -> Y is injective, then f:E -> f(E) is bijective
國立政治大學
If f is injective, g(f(a))=a is well defined. Since a -> f(a) is a one one correspondence, g is a function.
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B3 若第一個f是從E打到Y,如果它是one to one但不是onto的話,那麼Y中會有元素不會被打到。 而則第二個f是從E打到E的image,是一個對射。 這個概念我了解,可是上面兩個f打到的陪域不是不同嗎? 第一個f沒有right inverse,沒有滿足反函數的條件不是嗎?!🤨
國立政治大學
對,所以要在限制在f的image 才是bijective
原 PO - 文藻外語大學
B6 哦! !! 所以一個函數是one one,且非onto的話。如果它想要有反函數,則f必須限制成從E打到E自己的image上才有反函數嗎?
國立政治大學
對 是常識 因為打到自己的image是surgective
原 PO - 文藻外語大學
B8 感謝! 所以原來不是所有one one函數都有反函數~ 抱歉很簡單也要上來發問,因為我以前以為one one函數一定有反函數,後來學到集合的定義才知道它還有right inverse這個條件要成立才行。