文藻外語大學

Zermelo’s Well-ordering principle

1月31日 01:19
小弟想問一個蠢問題,關於這個原理,它說對於任何集合都可以被Well ordered。即對任何集合,我能給定一個relation,使得這個集合的任何非空子集都有最小元素。 那為什麼實數集R不是一個well ordered set? 我考慮每個R中的任意子集,由良序原理可以知道,它一定有最小元素,那麼我把所有子集取聯集擴大到整個R上,我不就說明了我能在R上定一個良序關係,使得R上的每個非空子集都存在最小元素呢? 良序原理說明了每個集合都可以被良排序,那不是對於任何集合它都應該要是良序集才對嗎? 因為可以被良排序,那個考慮任何非空子集應該都找得到最小元素才對吧? 還是我對Zermelo’s Well-ordering principle 有所誤解⋯⋯ 求解謝謝各位🙏🙏🙏 我真的想不通...
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我的理解是目前我們並沒有辦法定義出一個真的在 R 上的 well ordering 而是只能根據 axiom 預設他存在
原 PO - 文藻外語大學
B1 我知道在R中找到良序是很困難的,可是一旦我們承認選擇公理,也就承認了Zermelo’s Well-ordering principle。那我們不是應該認為其實任何集合都可以是良序集嗎? 即使在我們知道的序≼(relation)下很多集合都不是well ordered set,但這個原理告訴我們,其實每個集合中都存在良序...... 而R雖然它的well ordered 還沒找到,但是我們不能根據此原理就直接認為其實R是一個well ordered set嗎?
國立中正大學
應該是說 如果使用一般想像的大小關係 實數不是well ordered的 但良序原理告訴你應該存在才對 只是這個well ordered能不能用“造”的造出來又是另一回事了(沒記錯是不可構造的啦,可能要確認一下)
原 PO - 文藻外語大學
B3 我記得所有用到選擇公理的命題證明都是不可構造的。 總之還是感謝你🙏