國立清華大學 工學院學士班

柯西不等式證明

3月26日 22:26
柯西不等式在 Friedberg 這本原文書中 有假設 c 為 <x,y>/<y,y> 而莊重老師在講解不等式等式成立的條件時 是說向量要平行 我想請問的是 因為體可能不是實數 所以平行的概念是否可以延伸為其中一個向量落在另一個向量自己 span 出來的空間中?如果可以的話 柯西不等式等式成立應該是在起手式的 x-cy,x-cy> = 0 根據書中的定理得到 x-cy = 0 這個敘述 那麼是不是使得柯西不等式等式成立的條件只會有一個點? 但是用彼此落在對方 span 來看的話 滿足這樣條件的狀況應該不只一個? 不知道該怎麼理解柯西不等式等式成立的條件... 先謝謝各位版上大神!
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國立臺灣大學 數學系
平行的定義確實如你所說:兩向量u、v平行若且唯若存在非零c在F中使得u=cv。在這個觀點下,F可以是任意體。 在證明中,Friedberg等人利用「任意向量的norm皆為非負實數,且norm等於0若且唯若向量為零向量」。所以從0=<||x-cy||出發,取特定常數c可得柯西不等式。由此,等號成立若且唯若||x-cy||=0,因此x-cy=0。所以等號成立若且唯若x=cy,亦即x與y平行 (根據上面的定義)。 至於「等號成立時是不是只有一個點」,我不太清楚你想表達的是什麼。但請注意常數c是由兩向量x、y決定的。所以當x、y不同時,c也會跟著變動。
原 PO - 國立清華大學 工學院學士班
B1 感謝您的回答! 不過我還是有一些疑惑😢 如果柯西不等式等號成立條件為兩向量平行的話,因為若兩向量 x y 平行,則存在一個純量 s 使得 x=sy ,此時怎麼保證 s 為 <x,y>/<y,y> 而使得柯西不等式的等號成立呢!
國立臺灣大學 數學系
B2 關於如何得到這個常數,其實很簡單。x=sy,兩邊同時取 <-,y>,所以得到 <x,y>=s<y,y>,所以 s=<x,y>/<y,y>。 這個方法在之後會頻繁使用。給定 (V, <,>) 為 n 維內積空間。若 u_1、...、u_n 為 V 的一組基底,可使用 Gram-Schmidt process 得到一組 orthonormal basis v_1、...、v_n (其中 v_1=u_1/||u_1||)。對任意向量 x,我們可以把它寫成這組 orthonormal basis 的 linear combination:x=a_1v_1+...+a_nv_n。要如何得到這些係數 a_1、...、a_n 呢?方法就是拿 x 分別與 v_1、...、v_n 做內積,利用 orthonormality 可以求出 a_i (i=1,...,n)。 關於以上我講的這段,你可以參照 Friedberg 等人寫的書的 section 6.2,Theorem 6.3 和 Theorem 6.4。注意,在 Theorem 6.3 中,他們是取 orthogonal basis 而非 orthonormal basis,但概念是一樣的。
原 PO - 國立清華大學 工學院學士班
B3 啊啊!我找到我的盲點了!非常感謝您的幫忙~