乘積空間的拓撲(已解決)

5月27日 18:42
我想問有關乘積拓撲的定義問題:
我真的不懂黑線那裡的定義。 之前我們定義花體字S’的做法是把花體字S裡的元素做有限的交集之後,再聯集全空間後得到花體字S’:
而第一張圖中花體字S裡的元素應該是長這樣:
按之前的定義不是應該在集合裡任挑有限個元素出來做交集,之後再聯集全空間 Y1×Y2嗎? 為什麼第一張圖的黑線部分要定義成那樣? 而且為什麼它不用聯集全空間? 有數學大佬能解答救救小弟嗎🙏 我會很感激🙏🙏
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國立臺灣大學
Y_1 是 Y_1 的open subset,且 p_1^{-1}(Y_1)=Y_1*Y_2。 同理,Y_2 是 Y_2 的open subset,且 p_2^{-1}(Y_2)=Y_1*Y_2。 所以 Y_1*Y_2=p_1^{-1}(Y_1) \cap p_2^{-1}(Y_2)。 也就是,Y_1*Y_2 已經自動包含在 S’ 裡面了。
B1 哦我懂了! 但還有一個疑問是,有限交集也包含交集一次,也就是如P_1^{-1}(v_1)自己交集一次等於自己,或P_2^{-1}(v_2)自己交集一次等於自己。 但是在乘積空間中,花體字S’的定義中,它的交集是取Y_1和Y_2裡各自拿一個開集取preimage後去做交集,它交集出來是一個正方形:
但如P_1^{-1}(v_1)自己交集一次是長這樣:
按之前花體字S’的定義,照理來說這種長方形也應該落在花體字S’裡頭,這種情況是要取P_1^{-1}(v_1)交集P_2^{-1}(Y_2)嗎? 再此先謝謝你🙏
國立臺灣大學
B2 是的,就是你說的那樣。
B3 好的非常感謝你!🙏